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2016海南中考数学备考专项练习:直角三角函数

来源:101教育 2016-12-02 字体大小: 分享到:

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2016海南中考数学备考专项练习:直角三角函数

一、选择题

1. (2014•山东枣庄,第3题3分)如图,AB∥CD,AE交CD于C,∠A=34°,∠DEC=90°,则∠D的度数为( )

A. 17° B. 34° C. 56° D. 124°

考点: 平行线的性质;直角三角形的性质

分析: 根据两直线平行,同位角相等可得∠DCE=∠A,再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.

解答: 解:∵AB∥CD,

∴∠DCE=∠A=34°,

∵∠DEC=90°,

∴∠D=90°﹣∠DCE=90°﹣34°=56°.

故选C.

点评: 本题考查了平行线的性质,直角三角形两锐角互余的性质,熟记性质是解题的关键.

2. 1.(2014•湖南张家界,第7题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=60°,DE是斜边AC的中垂线,分别交AB、AC于D、E两点.若BD=2,则AC的长是(  )

A. 4 B. 4 C. 8 D. 8

考点: 线段垂直平分线的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.

分析: 求出∠ACB,根据线段垂直平分线求出AD=CD,求出∠ACD、∠DCB,求出CD、AD、AB,由勾股定理求出BC,再求出AC即可.

解答: 解:如图,∵在Rt△ABC中,∠ACB=60°,

∴∠A=30°.

∵DE垂直平分斜边AC,

∴AD=CD,

∴∠A=∠ACD=30°,

∴∠DCB=60°﹣30°=30°,

∵BD=2,

∴CD=AD=4,

∴AB=2+4+2=6,

在△BCD中,由勾股定理得:CB=2 ,

在△ABC中,由勾股定理得:AC= =4 ,

故选:B.

点评: 本题考查了线段垂直平分线,含30度角的直角三角形,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要考查学生运用这些定理进行推理的能力,题目综合性比较强,难度适中.

3. (2014•十堰9.(3分))如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC,垂足为点E,连接AC交DE于点F,点G为AF的中点,∠ACD=2∠ACB.若DG=3,EC=1,则DE的长为(  )

A. 2 B. C. 2 D.

考点: 勾股定理;等腰三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.

分析: 根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG,根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA,根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD,再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD,根据等腰三角形的性质可得CD=DG,再根据勾股定理即可求解.

解答: 解:∵AD∥BC,DE⊥BC,

∴DE⊥AD,∠CAD=∠ACB

∵点G为AF的中点,

∴DG=AG,

∴∠GAD=∠GDA,

∴∠CGD=2∠CAD,

∵∠ACD=2∠ACB,

∴∠ACD=∠CGD,

∴CD=DG=3,

在Rt△CED中,DE= =2 .

故选:C.

点评: 综合考查了勾股定理,等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线,解题的关键是证明CD=DG=3.

4. (2014•娄底8.(3分))下列命题中,错误的是(  )

A. 平行四边形的对角线互相平分

B. 菱形的对角线互相垂直平分

C. 矩形的对角线相等且互相垂直平分

D. 角平分线上的点到角两边的距离相等

考点: 命题与定理.

分析: 根据平行四边形的性质对A进行判断;根据菱形的性质对B进行判断;根据矩形的性质对C进行判断;根据角平分线的性质对D进行判断.

解答: 解:A、平行四边形的对角线互相平分,所以A选项的说法正确;

B、菱形的对角线互相垂直平分,所以B选项的说法正确;

C、矩形的对角线相等且互相平分,所以C选项的说法错误;

D、角平分线上的点到角两边的距离相等,所以D选项的说法正确.

故选C.

点评: 本题考查了命题与定理:判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题;经过推理论证的真命题称为定理.

5. (2014•山东淄博,第10题4分)如图,矩形纸片ABCD中,点E是AD的中点,且AE=1,BE的垂直平分线MN恰好过点C.则矩形的一边AB的长度为(  )

A. 1 B. C. D. 2

考点: 勾股定理;线段垂直平分线的性质;矩形的性质.菁优网

分析: 本题要依靠辅助线的帮助,连接CE,首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC.求出EC后根据勾股定理即可求解.

解答: 解:如图,连接EC.

∵FC垂直平分BE,

∴BC=EC(线段垂直平分线的性质)

又∵点E是AD的中点,AE=1,AD=BC,

故EC=2

利用勾股定理可得AB=CD= = .

故选:C.

点评: 本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质,本题的关键是要画出辅助线,证明BC=EC后易求解.本题难度中等.

6. ( 2014•安徽省,第8题4分)如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为(  )

A. B. C. 4 D. 5

考点: 翻折变换(折叠问题).

分析: 设BN=x,则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x,根据中点的定义可得BD=3,在Rt△ABC中,根据勾股定理可得关于x的方程,解方程即可求解.

解答: 解:设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x,

∵D是BC的中点,

∴BD=3,

在Rt△ABC中,x2+32=(9﹣x)2,

解得x=4.

故线段BN的长为4.

故选:C.

点评: 考查了翻折变换(折叠问题),涉及折叠的性质,勾股定理,中点的定义以及方程思想,综合性较强,但是难度不大.

7. ( 2014•广西贺州,第11题3分)如图,以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E,且AC=2,AE= ,CE=1.则弧BD的长是(  )

A. B. C. D.

考点: 垂径定理;勾股定理;勾股定理的逆定理;弧长的计算.

分析: 连接OC,先根据勾股定理判断出△ACE的形状,再由垂径定理得出CE=DE,故 = ,由锐角三角函数的定义求出∠A的度数,故可得出∠BOC的度数,求出OC的长,再根据弧长公式即可得出结论.

解答: 解:连接OC,

∵△ACE中,AC=2,AE= ,CE=1,

∴AE2+CE2=AC2,

∴△ACE是直角三角形,即AE⊥CD,

∵sinA= =,

∴∠A=30°,

∴∠COE=60°,

∴ =sin∠COE,即 = ,解得OC= ,

∵AE⊥CD,

∴ = ,

∴ = = = .

故选B.

点评: 本题考查的是垂径定理,涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识,难度适中.

8.(2014•滨州,第7题3分)下列四组线段中,可以构成直角三角形的是( )

A. 4,5,6 B. 1.5,2,2.5 C. 2,3,4 D. 1, ,3

考点: 勾股定理的逆定理

分析: 由勾股定理的逆定理,只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

解答: 解:A、42+52=41≠62,不可以构成直角三角形,故本选项错误;

B、1.52+22=6.25=2.52,可以构成直角三角形,故本选项正确;

C、22+32=13≠42,不可以构成直角三角形,故本选项错误;

D、12+( )2=3≠32,不可以构成直角三角形,故本选项错误.

故选B.

点评: 本题考查勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.

9.(2014年山东泰安,第8题3分)如图,∠ACB=90°,D为AB的中点,连接DC并延长到E,使CE= CD,过点B作BF∥DE,与AE的延长线交于点F.若AB=6,则BF的长为(  )

A.6 B. 7 C. 8 D. 10

分析:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD= AB=3,则结合已知条件CE= CD可以求得ED=4.然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8.

解:如图,∵∠ACB=90°,D为AB的中点,AB=6,∴CD= AB=3.又CE= CD,

∴CE=1,∴ED=CE+CD=4.又∵BF∥DE,点D是AB的中点,

∴ED是△AFD的中位线,∴BF=2ED=8.故选:C.

点评: 本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线.根据已知条件求得ED的长度是解题的关键与难点.

10.(2014年山东泰安,第12题3分)如图①是一个直角三角形纸片,∠A=30°,BC=4cm,将其折叠,使点C落在斜边上的点C′处,折痕为BD,如图②,再将②沿DE折叠,使点A落在DC′的延长线上的点A′处,如图③,则折痕DE的长为(  )

A. cm B. 2 cm C. 2 cm D. 3cm

分析:根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°,翻折前后两个图形能够互相重合可得∠BDC=∠BDC′,∠CBD=∠ABD=30°,∠ADE=∠A′DE,然后求出∠BDE=90°,再解直角三角形求出BD,然后求出DE即可.

解:∵△ABC是直角三角形,∠A=30°,∴∠ABC=90°﹣30°=60°,

∵沿折痕BD折叠点C落在斜边上的点C′处,

∴∠BDC=∠BDC′,∠CBD=∠ABD= ∠ABC=30°,

∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处,∴∠ADE=∠A′DE,

∴∠BDE=∠ABD+∠A′DE= ×180°=90°,

在Rt△BCD中,BD=BC÷cos30°=4÷ = cm,

在Rt△ADE中,DE=BD•tan30°= × = cm.故选A.

点评: 本题考查了翻折变换的性质,解直角三角形,熟记性质并分别求出有一个角是30°角的直角三角形是解题的关键.

11. (2014•海南,第6题3分)在一个直角三角形中,有一个锐角等于60°,则另一个锐角的度数是(  )

A. 120° B. 90° C. 60° D. 30°

考点: 直角三角形的性质.

分析: 根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.

解答: 解:∵直角三角形中,一个锐角等于60°,

∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°.

故选D.

点评: 本题考查了直角三角形两锐角互余的性质,熟记性质是解题的关键.

12.(2014•随州,第7题3分)如图,要测量B点到河岸AD的距离,在A点测得∠BAD=30°,在C点测得∠BCD=60°,又测得AC=100米,则B点到河岸AD的距离为(  )

A. 100米 B. 50 米 C. 米 D. 50米

考点: 解直角三角形的应用

分析: 过B作BM⊥AD,根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°,再根据等角对等边可得BC=AC,然后再计算出∠CBM的度数,进而得到CM长,最后利用勾股定理可得答案.

解答: 解:过B作BM⊥AD,

∵∠BAD=30°,∠BCD=60°,

∴∠ABC=30°,

∴AC=CB=100米,

∵BM⊥AD,

∴∠BMC=90°,

∴∠CBM=30°,

∴CM= BC=50米,

∴BD= =50 米,

故选:B.

点评: 此题主要考查了解直角三角形的应用,关键是证明AC=BC,掌握直角三角形的性质:30°角所对直角边等于斜边的一半.

13.(2014•黔南州,第11题4分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于D.如果∠A=30°,AE=6cm,那么CE等于(  )

A. cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm

考点: 含30度角的直角三角形.

分析: 根据在直角三角形中,30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED,求出ED,再根据角平分线到两边的记录相等得出ED=CE,即可得出CE的值.

解答: 解:∵ED⊥AB,∠A=30°,

∴AE=2ED,

∵AE=6cm,

∴ED=3cm,

∵∠ACB=90°,BE平分∠ABC,

∴ED=CE,

∴CE=3cm;

故选C.

点评: 此题考查了含30°角的直角三角形,用到的知识点是在直角三角形中,30度所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质,关键是求出ED=CE.

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